\documentclass{uebungsblatt}
\author{Marek Kubica, kubica@in.tum.de}
\fach{Praktikum: Grundlagen der Programmierung}
\blatt{1}
\gruppe{OV6}

\begin{document}

\aufgabe

\teilaufgabe

\begin{flalign*}
a & \Rightarrow  \neg b\\
b & \Rightarrow b\\
c & \Rightarrow \neg a
\end{flalign*}

\teilaufgabe

\begin{tabular}{|l|l|l|c|}
 \hline
 $a$ & $b$ & $c$ & $ (a \Rightarrow \neg b) \wedge (b \Rightarrow b) \wedge (c \Rightarrow \neg a) \wedge ((a \wedge b) \vee (a \wedge c) \vee (b \wedge c))$ \\
 \hline
 0 & 0 & 0 & 0\\
 0 & 0 & 1 & 0\\
 0 & 1 & 0 & 0\\
 0 & 1 & 1 & 1\\
 1 & 0 & 0 & 0\\
 1 & 0 & 1 & 0\\
 1 & 1 & 0 & 0\\
 1 & 1 & 1 & 0\\
 \hline
\end{tabular}

Die Tabelle ergibt nur wahr, wenn $b$ wahr ist und wenn $c$ wahr ist, also
sagen Bob und Claudia die Wahrheit und Alice sagt nicht die Wahrheit.

\teilaufgabe

\begin{tabular}{|l|l|c|c|}
 \hline
 $x$ & $y$ & $(x \wedge y) \vee (\neg x \wedge  \neg y)$ & $(x \Rightarrow y) \wedge (y \Rightarrow x)$ \\
 \hline
 0 & 0 & 1 & 1\\
 0 & 1 & 0 & 0\\
 1 & 0 & 0 & 0\\
 1 & 1 & 1 & 1\\
 \hline
\end{tabular}

\teilaufgabe

\begin{flalign*}
(x \Rightarrow y) & \wedge (y \Rightarrow x) & \text{Angabe}\\
(\neg x \vee y) & \wedge (\neg y \vee x) & \text{Umformung der Implikation}\\
a & \wedge (\neg y \vee x) & \text{Substitution } a = (\neg x \vee y)\\
(a \wedge \neg y) & \vee (a \wedge x) & \text{Distributivgesetz}\\
((\neg x \vee y) \wedge \neg y) & \vee ((\neg x \vee y) \wedge x) & \text{Resubstitution von } a\\
((\neg x \wedge \neg y) \vee (y \wedge \neg y)) & \vee ((\neg x \wedge x) \vee (x \wedge y)) & \text{Distributivgesetz}\\
((\neg x \wedge \neg y) \vee \text{false}) & \vee (\text{false} \vee (x \wedge y)) & \text{Gesetz für false}\\
(\neg x \wedge \neg y) & \vee (x \wedge y) & \text{Elimination von false}\\
(x \wedge y) \vee &(\neg x \wedge \neg y) & \text{Kommutativgesetz}\\
\end{flalign*}

Der letzte Term ist wieder gleich dem zweiten Term in der Angabe, 
somit ist bewiesen dass, die beiden Terme in der Angabe
tatsächlich äquivalent sind.

\aufgabe

Die Lösung der Aufgabe ist als \texttt{kubica.lefthand} der E-Mail
angehängt.

\end{document}