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\mode<presentation>{\usetheme{Copenhagen}}
\title{4. Reihen}
\author[Kubica, Schmalstieg]{Marek~Kubica, Antonia Schmalstieg}
\institute{TU~München}
\date{\today}

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\begin{document}

\frame{
  \titlepage
  \vfill
  \begin{center}
    \CcGroupBy{0.83}\\[2.5ex]
    {\tiny\CcNote{\CcLongnameBy}}
    \vspace*{-2.5ex}
  \end{center}
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\AtBeginSection[]{
  \begin{frame}
    \frametitle{\insertsection}
    \tableofcontents[currentsection]
  \end{frame}
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\begin{frame}{4.1 Konvergenz von Reihen}
  \begin{block}{Definition}
    Man ordnet einer Folge komplexer Zahlen $(a_n)$ die Folge $(s_n)$ mit
    \begin{equation*}
      s_n = \sum_{k=1}^n a_k = a_1 + a_2 + ... + a_n
    \end{equation*}
    zu. Die einzelnen Summanden $a_i$ nennt man $i$-te Partialsummen.
  \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{4.1 Konvergenz von Reihen}
  \begin{block}{Konvergenz}
    Konvergiert die Folge, so gilt
    \begin{equation*}
      s = \sum_{k=1}^\infty a_k = a_1 + a_2 + ... 
    \end{equation*}
    Divergiert die Folge, so gilt
    \begin{equation*}
      \sum_{k=1}^\infty a_k = \pm\infty
    \end{equation*}
  \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{Beispiele}
  \begin{block}{Teleskopreihe}
    \begin{equation*}
      \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k(k+1)} = 1 
    \end{equation*}
  \end{block}
  \begin{block}{Harmonische Reihe}
    \begin{equation*}
      \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} = \infty 
    \end{equation*}
    da ihre Partialsummen $H_n$ sind, die unbeschränkt wachsen.
  \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{Beispiele}
  \begin{block}{Geometrische Reihe}
    \begin{equation*}
      \sum_{k=0}^\infty z^k = \frac{1}{1 - z}
    \end{equation*}
    für $z \in \mathbb{C}, \left|z\right| < 1$, da $z^n \rightarrow 0$ $(n \rightarrow \infty)$.
    \begin{equation*}
      \sum_{k=0}^\infty q^k = \infty
    \end{equation*}
    für $q \geq 1$.
  \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{Einfache Konvergenzresultate}
  \begin{itemize}
    \item $\sum_{k=1}^\infty a_k$ konvergiert $\Rightarrow a_k \rightarrow 0$ $(k \rightarrow \infty)$
    \item Für nichtnegative Glieder: \begin{equation*}\sum_{k}^\infty a_k \text{ konvergiert } \Leftrightarrow (s_n) \text{ beschränkt}\end{equation*}
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{4.2 Vergleichkriterien}
  \begin{block}{Majorantenkriterium}
    \emph{Idee}: Reihe auf bekannte Reihen zurückführen, um Konvergenz oder Divergenz festzustellen\\
    Es seien $\sum_{k=1}^\infty a_k$ und $\sum_{k=1}^\infty b_k$ Reihen bei denen für alle Glieder
    \begin{equation*}
      \left|a_k\right| \leq b_k
    \end{equation*}
    gilt. Dann heißt $\sum_{k=1}^\infty b_k$ \emph{Majorante} von $\sum_{k=1}^\infty a_k$.
  \end{block}
  \begin{block}{Es gilt:}
    \begin{itemize}
      \item $\left|\sum_{k=1}^\infty a_k\right| \leq \sum_{k=1}^\infty \left|a_k\right| \leq \sum_{k=1}^\infty b_k$
      \item Divergiert $(a_k)$, so divergiert auch $(b_k)$.
    \end{itemize}
  \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{4.2 Vergleichkriterien}
  \begin{block}{Quotientenkriterium}
    \emph{Idee}: Vergleich mit Geometrischer Reihe.\\
    Es sei $\sum_{k=1}^\infty a_k$ mit $a_k \neq 0$ für fast alle $k$.\\
    Falls es den Grenzwert
    \begin{equation*}
      q = \lim_{k \rightarrow \infty} \left|\frac{a_{k + 1}}{a_k}\right|
    \end{equation*}
    gibt, so gilt für $q < 1$ Konvergenz; für $q > 1$ Divergenz; für $q = 1$ kann keine Aussage getroffen werden.
  \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{4.2 Vergleichkriterien}
  \begin{block}{Wurzelkriterium}
    \emph{Idee}: Vergleich mit Geometrischer Reihe.\\
    Für eine Reihe $\sum_{k=1}^\infty a_k$ definieren wir die Zahl
    \begin{equation*}
      \rho = \limsup_{k \rightarrow \infty} \sqrt[k]{|a_k|}
    \end{equation*}
    Die Reihe konvergiert, falls $\rho < 1$, divergiert falls $\rho > 1$, für $\rho = 1$ kann keine Aussage getroffen werden.
  \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{4.3 Alternierende Reihen}
  \begin{block}{Leibnitzkriterium}
    $(a_n)$ sei eine monoton fallende Nullfolge, dann konvergiert die dazugehörige alternierende Reihe
    \begin{equation*}
      s = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k a_k
    \end{equation*}
    und $s_n$ approximiert $s$ bis auf einen Fehler gleich des Betrags des letzten weggelassenen Summanden.
  \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{4.5 Umordnungen}
  \begin{block}{Meiste Operationen unkritisch}
    Addition
    \begin{equation*}
      \sum_{k=1}^\infty (a_n + b_n) = \sum_{k=1}^\infty a_n + \sum_{k=1}^\infty b_k
    \end{equation*}
  \end{block}
  \begin{block}{\Frowny}
    Umordnungen von Reihengliedern im Allgemeinen nicht erlaubt
  \end{block}
  \begin{block}{Cauchy-Produkt}
    Zum Zusammenfügen von Reihen über Multiplikation
    \begin{equation*}
      c_m = \sum_{k=0}^m a_k b_{m-k}
    \end{equation*}
  \end{block}
\end{frame}

\end{document}
